图与缠绕蛋糕的公平分割

缠绕体（tangle）是通过粘合若干个单位区间 $[0, 1]$ 的副本而构成的连通拓扑空间。我们探究哪些缠绕体能够保证 n 个智能体的无嫉妒连通份额分配，即无论用何种单调连续函数表示智能体的估值，此类分配都存在。每个单一缠绕体 $\mathcal{T}$ 都以自然方式对应于一个由多重图（其中许多是图）组成的无限拓扑类 $\mathcal{G}(\mathcal{T})$。这种对应将缠绕体的 EF 公平分割与图的 EFk$_{outer}$ 公平分割联系起来。由 Bil\`o 等人可知，所有哈密顿图在智能体数为 2、3、4 时保证 EF1$_{outer}$ 分配，并对任意多个智能体保证 EF2$_{outer}$ 分配。我们证明恰有六种缠绕体是可串的（stringable）；它们对任意数量的智能体都保证 EF 连通分配，且其关联的拓扑类仅含哈密顿图。任何不可串的缠绕体对于保证连通份额 EF 分配的智能体数量都有一个有限上界 r。关联的非可串拓扑类中的大多数图不是哈密顿图，且一个负向转移定理表明，对每个 $k \geq 1$，这些图中的大多数无法保证对 r + 1 个或更多智能体的顶点 EFk$_{outer}$ 分配。这回答了 Bil\`o 等人提出的一个问题，并解释了为何关注哈密顿图是必要的。然而，在智能体数量有界时，我们对某些非可串类得到了正向结果。对 Stromquist 移动刀过程的细化表明，非可串的唇形缠绕体（lips tangle）保证对三个智能体的无嫉妒连通份额分配。随后我们修改 Bil\`o 等人中 Stromquist 过程的离散版本，证明该拓扑类中的所有图都对三个智能体保证 EF1$_{outer}$ 分配。