4-多胞体与 3-球面的面数

本文中，我们讨论 4 维凸多胞体与胞腔 3-球面的 f-向量与旗向量。我们提出两个关键参数：丰满度（fatness）与复杂度（complexity）：若边和 2-面远多于顶点和 facets，则丰满度 F(P) := (f_1+f_2-20)/(f_0+f_3-10) 大；若每个 facet 有许多顶点且每个顶点在许多 facet 中，则复杂度 C(P) := (f_{03}-20)/(f_0+f_3-10) 大。近期结果表明，这些参数或许可用于区分以下对象的 f-向量或旗向量锥：——长度为 5 的连通 Euler 格（组合对象），——强正则 CW 3-球面（拓扑对象），——凸 4-多胞体（离散几何对象），以及——有理凸 4-多胞体（其研究涉及算术方面）。进一步进展将依赖于导出凸 4-多胞体更紧的 f-向量不等式。另一方面，我们将需要新的构造方法以产生远离单纯或简单的有趣多胞体——例如非常“丰满”或“复杂”的 4-多胞体。在此方向上，我将报告（与 Michael Joswig、David Eppstein 和 Greg Kuperberg 的合作工作）得到的构造，其产生：——任意大丰满度的强正则 CW 3-球面，——丰满度大于 5.048 的凸 4-多胞体，以及——丰满度大于 5-epsilon 的有理凸 4-多胞体。