利用凸三角学求解一类二维控制子-Finsler 问题的极值曲线

我们考虑一系列具有二维控制的最优控制问题，其控制位于任意凸紧集 $\Omega$ 中。所考虑的问题在 $\Omega$ 为单位圆盘的情形下已被充分研究，但在任意 $\Omega$ 的情形下极少被研究。我们利用凸三角学的工具推导了这些问题的通解极值曲线，这使得我们可以不依赖于 $\Omega$ 的形状而统一且独立地求解。本文描述了以下情形中的测地线：(i) Lobachevsky 双曲平面上的 Finsler 问题；(ii) 所有单模三维李群（SU(2)、SL(2)、SE(2)、SH(2)）上的左不变子-Finsler 问题；(iii) 平面上滚球问题，其距离函数由 $\Omega$ 给出；(iv) 一系列推广 Euler 弹性问题、Markov-Dubins 问题、Reeds-Shepp 问题以及 SE(2) 上一个新的子-Riemann 问题的“游艇问题”；以及 (v) 平面动态运动问题。