论Reinhardt猜想与最优控制的形式化基础

我们描述（遵循Hales (2017)）将1934年Reinhardt关于平面上凸域最差填充的猜想重新表述为最优控制理论问题。给出了该问题的若干结构结果，包括其哈密顿结构与Lax对形式体系。给出了该问题在常值控制下的通解，并用于证明控制问题的庞特里亚金极值曲线被约束于状态空间的紧域中。我们进一步描述控制问题在其奇异点附近的结构，并证明在此情形下可恢复多维Fuller最优控制问题（二维控制）的庞特里亚金系统。我们展示该系统在控制集为2-单形的外接圆盘且关联控制在有限时间内于圆盘边界上执行无限次旋转时，如何容许对数螺线轨迹。我们还描述了基础最优控制中的形式化项目，即基于模型与无模型的强化学习理论。考虑了使这些形式化新颖的关键要素，即Giry单子与收缩余归纳，并讨论了一些应用。