旗复形中的极值Betti数与持久性

我们研究了关于旗复形过滤中极值 Betti 数和持久性的几个问题。对于具有 $n$ 个顶点的图，我们证明了当 $G=\mathcal{T}_{n,k+1}$（即具有 $k+1$ 个划分类的 Tur\'an 图）时，$\beta_k(X(G))$ 达到最大值，其中 $X(G)$ 表示 $G$ 的旗复形。在此基础上，我们构造了一个逐边（每次添加一条边）过滤 $\mathcal{G}=G_1\subseteq \cdots \subseteq \mathcal{T}_{n,k+1}$，使得对于所有具有 $n$ 个顶点和 $i$ 条边的图，$\beta_k(X(G_i))$ 均达到最大值。此外，在所有具有 $|E(\mathcal{T}_{n,k+1})|$ 条边的逐边过滤中，持久性条形码 $\mathcal{B}_k(X(G))$ 达到了最大数量的区间和总持久性。对于 $k=1$，我们考虑了完全图 $K_n$ 的逐边过滤。我们证明了持久性条形码中区间数量的最大值恰好在 $G_{\lceil n/2\rceil \cdot \lfloor n/2 \rfloor}=\mathcal{T}_{n,2}$ 时取得。在此类过滤中，我们刻画了实现最大总持久性的过滤。我们进一步证明了没有任何过滤能够在所有 $i$ 上优化 $\beta_1(X(G_i))$，并猜想我们的过滤最大化了 $K_n$ 所有逐边过滤的总持久性。