Sierpinski 垫片上的扩张及其最小化

我们研究了 Sierpinski 垫片（$SG$）上的扩张问题。在第一部分中，我们考虑在有限点集上给定取值的情况下，最小化泛函 $\mathcal{E}_{\lambda}(f) = \mathcal{E}(f,f) + \lambda \int f^2 d \mu$，其中 $\mathcal{E}$ 表示能量（欧几里得空间中 $\int |\nabla f|^2$ 的类比），$\mu$ 表示 $SG$ 上的标准自相似测度。我们显式构造了最小化解 $f(x) = \sum_{i} c_i G_{\lambda}(x_i, x)$，其中 $c_i$ 为某些常数，$G_{\lambda}$ 是 $\lambda \geq 0$ 时的预解式。通过计算最小化解 $f$ 的显式二次型 $\mathcal{E}(f)$，我们在 $SG$ 的子集上最小化了能量。我们讨论了该二次型对于任意集合的性质，随后分析了一些特定集合。其中一个考虑的集合是 $SG$ 图逼近的底行。我们利用 Haar 函数描述了该二次型及其离散形式，这与前一篇论文中建立的连续结果相对应。在第二部分中，我们研究了一个类似问题，此次针对一般测度最小化 $\int_{SG} |\Delta f(x)|^2 d \mu (x)$。在这两种情况下，我们利用标准方法证明了最小化问题解的存在性与唯一性。随后，我们研究了唯一最小化解的性质。