用泛函重整化群方法探究 $\theta$-真空结构

我们在一个 $S^1$ 上的简单量子力学系统中研究 $\theta$-真空结构以及 $\theta=\pi$ 处的 't Hooft 反常，以审视泛函重整化群（fRG）方法的适用性。尽管 fRG 是一种精确表述，但对其方程的朴素应用会因表述的微分性质而遗漏来自 $\theta$ 项的贡献。我们首先回顾这个可用路径积分与正则量子化求解的 $S^1$ 上量子力学系统。我们讨论如何构造包含 $\theta$ 依赖的量子有效作用量。此类显式计算提出了一个微妙问题：对于一般具有符号问题的系统，Legendre 变换是否良定义。我们随后考虑一个形变理论，通过引入深度有限 $\propto g$ 的酒瓶势来松弛整数卷绕，从而原 $S^1$ 理论在 $g\to\infty$ 极限下恢复。我们在正则量子化中数值求解了形变理论中作为 $g$ 与 $\theta$ 函数的能谱。我们检验了 fRG 方法中最简单的局域势近似（LPA）的效力，发现基态能量的正确行为在小的 $\theta$ 下被很好重现。当接近能级交叉时，LPA 流崩溃并无法描述由 't Hooft 反常预期的基态简并。我们最后回到原理论并讨论使用 Villain 格点作用的另一种表述。在 $\theta=\pi$ 处用 Villain 格点的分析表明，有效作用量的非局域性对于捕捉基态的能级交叉行为至关重要。