某些含 $p$-拉普拉斯算子的方程的显式解与多重性结果

我们推导出 $R^n$ 中若干含 $p$-拉普拉斯算子的方程的显式基态解，包括（这里 $\varphi (z)=z|z|^{p-2}$，$p>1$）$$\varphi \left(u'(r)\right)' +\frac{n-1}{r} \varphi \left(u'(r)\right)+u^M+u^Q=0 \,.$$ 常数 $M>0$ 假设低于临界幂次，而 $Q=\frac{M p-p+1}{p-1}$ 高于临界幂次。该显式解被用来给出一个多重性结果，类似于 C.S. Lin 和 W.-M. Ni [11] 的工作。我们还给出了 G. Bratu 解 [3] 的 $p$-拉普拉斯版本。在另一个方向上，我们提出一种变量变换，可移除 $$\varphi \left(u'(r)\right)' +\frac{n-1}{r} \varphi \left(u'(r)\right)+r^{\alpha} f(u)=0$$ 中的非自治项 $r^{\alpha}$，同时保持该方程的形式。特别地，我们研究了 $\alpha <0$ 时的奇异方程。库仑情形 $\alpha=-1$ 恰好给出临界幂次。