初等阿贝尔 p-群上同调的显式公式

设 $G$ 为初等阿贝尔 $p$-群，$G\cong{\mathbb F}_p^r$，并设 $s_1,\ldots,s_r$ 为 $G$ 在 ${\mathbb F}_p$ 上的一组基。设 $V$ 为 $G$ 的对偶，$V={\rm Hom}(G,{\mathbb F}_p)=H^1(G,{\mathbb F}_p)$。设 $x_1,\ldots,x_r$ 为 $V$ 在 ${\mathbb F}_p$ 上的基，其对偶于 $G$ 的基 $s_1,\ldots,s_r$。对于 $1\leq i\leq r$，我们记 $y_i=\beta (x_i)\in H^2(G,{\mathbb F}_p)$，其中 $\beta :H^1(G,{\mathbb F}_p)\to H^2(G,{\mathbb F}_p)$ 是连接 Bockstein 映射。环 $(H^*(G,{\mathbb F}_p),+,\cup )$ 满足 $$H^*(G,{\mathbb F}_p)\cong\begin{cases}{\mathbb F}_p[x_1,\ldots,x_r]&p=2\\ \Lambda (x_1,\ldots,x_r)\otimes{\mathbb F}_p[y_1,\ldots,y_r]&p>2\end{cases}.$$ 当 $p=2$ 时，同构 $\tau :{\mathbb F}_p[x_1,\ldots,x_r]\to H^*(G,{\mathbb F}_p)$ 由 $x_{i_1}\cdots x_{i_n}\mapsto x_{i_1}\cup\cdots\cup x_{i_n}\in H^n(G,{\mathbb F}_p)$ 给出。当 $p>3$ 时，同构 $\tau :\Lambda (x_1,\ldots,x_r)\otimes{\mathbb F}_p[y_1,\ldots,y_r]\to H^*(G,{\mathbb F}_p)$ 由 $x_{i_1}\wedge\cdots\wedge x_{i_l}\otimes y_{j_1}\cdots y_{j_k}\mapsto x_{i_1}\cup\cdots\cup x_{i_l}\cup y_{j_1}\cup\cdots\cup y_{j_k}\in H^{2k+l}(G,{\mathbb F}_p)$ 给出。本文给出了逆同构 $\tau^{-1}$ 的显式公式。$H^*(G,{\mathbb F}_p)$ 中的元素用归一化上链表示。在证明过程中，我们使用了一种替代方法来描述归一化上链。即，对于每个 $G$-模 $M$，我们有 $C^n(G,M)\cong{\rm Hom}(T^n({\mathcal I}),M)$，其中 ${\mathcal I}$ 是 $G$ 的增广理想，${\mathcal I}=\ker\varepsilon :{\mathbb Z}[G]\to{\mathbb Z}$。