齐次 $N$ 体问题的膨胀解与无穷远边界

我们研究了由 $-\alpha$ 次齐次牛顿势驱动的 $\mathbb{R}^d$ ($d\ge2$) 中 $N$ 体问题的膨胀解。我们建立了对于广泛齐次指数 $\alpha$ 范围，具有给定初始构型和渐近方向的半整体膨胀运动的存在性。我们的方法是变分的，依赖于对适当重正化的拉格朗日作用量的最小化，使我们能够在 Chazy 分类的意义下统一处理双曲、抛物和双曲-抛物区域。除了存在性之外，我们推导了所有类别膨胀解的渐近展开式，识别了高阶修正项，并改进了先前的增长估计，包括经典牛顿情形 $\alpha=1$。特别地，对于双曲-抛物解，我们详细描述了团簇中心的线性逃逸与内部抛物动力学之间的相互作用，将团簇散射图景推广到一般齐次势。最后，我们在雅可比-莫佩尔蒂度量和弱 KAM 理论的几何框架内解释这些解。在此视角下，膨胀运动对应于测地射线和相应 Hamilton-Jacobi 方程的校准曲线，从而给出了无穷远边界的动力学刻画和全局粘性解的精细描述。