高维奇异旋转对称梯度 Ricci 孤立子的存在性

利用不动点论证，我们给出了高维奇异旋转对称稳态与扩张梯度 Ricci 孤立子存在性的证明，其度量为 $g=\frac{da^2}{h(a^2)}+a^2g_{S^n}$，其中 $h$ 为某函数，$g_{S^n}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中单位球面 $S^n$ 上的标准度量，对任意 $n\ge 2$ 成立。更确切地说，对任意 $\lambda\ge 0$ 与 $c_0>0$，我们证明方程 $2r^2h(r)h_{rr}(r)=(n-1)h(r)(h(r)-1)+rh_r(r)(rh_r(r)-\lambda r-(n-1))$、$h(r)>0$ 在 $(0,\infty)$ 中存在无穷多解 $h\in C^2((0,\infty);\mathbb{R}^+)$ 满足 $\underset{\substack{r\to 0}}{\lim}\,r^{\sqrt{n}-1}h(r)=c_0$，并证明了整体奇异解在原点附近的高阶渐近性态。我们还给出了该方程唯一整体奇异解存在性关于其在原点附近渐近性态的条件。