高维稳态与膨胀孤子的曲率估计

本文在高维空间中展示了关于完备非紧稳态和膨胀梯度 Ricci 孤子的某些曲率估计。在膨胀情形下，我们证明若 Ricci 曲率至少以二次速率衰减，则当 $n=4$ 时曲率算子以 $\BigO(1/r^{2})$ 速率衰减，当 $n\geq5$ 时以 $\BigO((\log r)/r^{2})$ 速率衰减。这细化了 Cao-Liu-Xie 之前结果中的曲率界，并去除了 Cao-Liu 和 Cao-Liu-Xie 估计中的非负 Ricci 曲率假设。作为几何应用，我们证明了具有有限 Ricci 曲率比的 Ricci 膨胀子在无穷远处存在唯一的 $C^{1,\alpha}$ 锥结构。在稳态情形下，利用曲率的积分估计，我们证明当势函数是真函数且 Ricci 曲率具有线性衰减时，曲率算子至多呈多项式增长。此外，我们进一步确认，若假设 Ricci 曲率具有超线性衰减 $\BigO(r^{-1-\varepsilon})$，则曲率是有界的。作为应用，我们证明了具有超线性 Ricci 曲率衰减和真势函数的稳态孤子在无穷远处存在唯一的柱结构。