欧几里得四维空间中极小化威尔莫尔克莱因瓶的存在性

设$K$为克莱因瓶。我们证明，在欧几里得$n$维空间中所有浸入克莱因瓶的威尔莫尔能量的下确界，由光滑嵌入克莱因瓶达到，其中$n\geq 4$。在欧几里得四维空间中存在三个不同的正则同伦类浸入克莱因瓶，每个类包含一个嵌入。其中一类以包含刚才提到的极小元为特征。对于另外两类正则同伦类，我们证明威尔莫尔能量有下界$8\pi$。我们给出这两类极小元的分类。特别地，我们证明欧几里得四维空间中存在无穷多个不同的嵌入克莱因瓶，其欧拉法向数为$-4$或$+4$且威尔莫尔能量为$8\pi$。即使允许环境空间共形变换，这些曲面也是不同的。由于它们在其同伦类中均为极小元，它们是威尔莫尔曲面。