度为 $-\alpha\notin [-2,0]$ 的齐次欧拉流的存在性

我们考虑在 $\mathbb{R}^{3}\backslash\{0\}$ 中 $\alpha\geq 0$ 以及在 $\mathbb{R}^{3}$ 中 $\alpha<0$ 的定常不可压缩欧拉方程的 ($-\alpha$)-齐次解。Shvydkoy (2018) 证明了 Beltrami 流和轴对称流在 $0\leq \alpha\leq 2$ 范围内不存在 ($-1$)-齐次解和 ($-\alpha$)-齐次解。Beltrami ($-\alpha$)-齐次解的不存在性对所有 $\alpha<1$ 成立。我们证明了无旋流的轴对称 ($-\alpha$)-齐次解在 $-2\leq \alpha<0$ 时不存在。本研究的主要结果是轴对称 ($-\alpha$)-齐次解在互补区间 $\alpha\in \mathbb{R}\backslash [0,2]$ 内的存在性。更具体地，我们证明了轴对称 Beltrami ($-\alpha$)-齐次解对 $\alpha\in \mathbb{R}\backslash [0,2]$ 存在，以及具有非常数伯努利函数的轴对称 ($-\alpha$)-齐次解对 $\alpha\in \mathbb{R}\backslash [-2,2]$ 存在。这是关于无显式形式的 ($-\alpha$)-齐次解的首个存在性结果。对于 $2<\alpha<3$，所构造的 ($-\alpha$)-齐次解提供了 $\mathbb{R}^{3}\backslash\{0\}$ 中 Beltrami/欧拉流的新例子，其比例因子/伯努利函数的水平集是由符号 $``\infty"$ 的旋转所产生的嵌套曲面。