$L^1$-Karcher 均值的存在性与唯一性
泛函分析
2018-12-20 v3 算子代数
摘要
我们将 Hilbert 空间上正算子的 Karcher 均值 的定义域扩展到配备 Thompson 部分度量的正算子锥上的 -Borel 概率测度。我们证明了 作为 Karcher 方程解的存在性与唯一性，并本着 Crandall-Liggett 的精神为相对算子熵发展了一套非线性常微分方程理论，使得 Karcher 方程的解是该常微分方程的稳态解，且所有生成的解曲线都满足指数收缩估计。尽管 Thompson 度量作为度量空间是非欧几里得的、不可微的、非交换的以及不可分的，且正锥作为流形是非局部紧的，这仍然是可能的。作为该常微分方程方法的进一步应用，我们证明了正算子的幂均值到 Karcher 均值的范数收敛猜想，以及由双变量几何平均的复合显式表达的非线性半群的 Trotter-Kato 乘积公式。这可以被视为大数定律的非线性连续时间版本。
引用
@article{arxiv.1703.04292,
title = {Existence and uniqueness of the $L^1$-Karcher mean},
author = {Yongdo Lim and Miklós Pálfia},
journal= {arXiv preprint arXiv:1703.04292},
year = {2018}
}
备注
Further corrections in section 2 in the proof of Proposition 2.2 and in the statement of Theorem 8.1. The main results are unchanged since the previous versions