给定洛伦兹平均曲率超曲面的存在性与正则性以及 Born-Infeld 模型

给定域 $\Omega \subset \mathbb{R}^m$ 上的测度 $\rho$，我们研究 Minkowski 空间中以 $\Omega$ 为底的类空图，其洛伦兹平均曲率为 $\rho$ 且在 $\partial \Omega$ 上满足 Dirichlet 边界条件。图函数 $u_\rho : \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ 也表示静电 Born-Infeld 理论中由电荷 $\rho$ 产生的电势。虽然 $u_\rho$ 在 $|D\psi| \le 1$ 的竞争者中极小化作用量 $$I_\rho(\psi) = \int_{\Omega} \Big( 1 - \sqrt{1-|D\psi|^2} \Big) \mathrm{d} x - \langle \rho, \psi \rangle$$，但由于当 $|D\psi| = 1$ 时拉格朗日密度缺乏光滑性，直接通过极小化的方法可能不产生欧拉-拉格朗日方程（BI）的解。本文中，我们研究一般 $\rho$ 下 $u_\rho$ 在 bounded 域和整个 $\mathbb{R}^m$ 中的存在性与正则性。特别地，我们找到保证 $u_\rho$ 满足（BI）并享有 log 改进的 $W^{2,2}_{\mathrm{loc}}$ 估计的充分条件，并构造例子以帮助识别 $\rho$ 正则性的尖锐阈值以确保（BI）成立。主要困难之一是 $u_\rho$ 图中可能存在的光线段，我们将详细讨论。