Born-Infeld 模型中的平衡测度与平衡势

在本文中,我们考虑静电 Born-Infeld 模型 \begin{equation*} \tag{$\mathcal{BI}$} \left\{ \begin{array}{rcll} -\operatorname{div}\left(\displaystyle\frac{\nabla \phi}{\sqrt{1-|\nabla \phi|^2}}\right)&=& \rho & \hbox{in }\mathbb{R}^N, \[6mm] \displaystyle\lim_{|x|\to \infty}\phi(x)&=& 0 \end{array} \right. \end{equation*} 其中 $\rho$ 是有界域 $\Omega\subset \mathbb{R}^N$ 边界上的电荷分布。我们关注其平衡测度,即在总电荷固定的所有可能分布中使相应势的静电能最小的电荷分布。我们证明了平衡测度的存在性,并表明相应的平衡势唯一且在 $\overline \Omega$ 中为常数。此外,对于光滑域,我们得到了平衡测度的唯一性,给出了其精确表达式,并验证了平衡势满足 ($\mathcal{BI}$)。最后,我们将 $\mathbb{R}^N$ 中的球刻画为在所有有界 $C^{2,\alpha}$-域 $\Omega$ 中平衡分布为 $\partial\Omega$ 上表面测度的常数倍的那类唯一集合。对静电能的 Taylor 近似也得到了同样的结果。