关于点电荷叠加的静电场 Born-Infeld 方程

本文研究静态 Born-Infeld 方程 $$-\mathrm{div}\left(\frac{\nabla u}{\sqrt{1-|\nabla u|^2}}\right)=\sum_{k=1}^n a_k\delta_{x_k}\quad\mbox{in }\mathbb R^N,\qquad \lim_{|x|\to\infty}u(x)=0,$$ 其中 $N\ge3$，对所有 $k=1,\dots,n$ 有 $a_k\in\mathbb R$，$x_k\in\mathbb R^N$ 为点电荷的位置（可能非对称分布），$\delta_{x_k}$ 是以 $x_k$ 为中心的 Dirac delta 分布。针对该问题，我们给出了关于 $a_k$ 和 $x_k$ 的显式定量充分条件，以保证与该问题相关联的能量泛函的极小化解满足相应的 Euler-Lagrange 方程。此外，根据电荷 $a_k$ 的符号，我们针对极小化解在点 $x_k$ 处的奇点性质提供了先前某些结果的更严格证明。对于每个 $m\in\mathbb N$，我们还考虑了近似问题 $$-\sum_{h=1}^m\alpha_h\Delta_{2h}u=\sum_{k=1}^n a_k\delta_{x_k}\quad\mbox{in }\mathbb R^N, \qquad\lim_{|x|\to\infty}u(x)=0$$ 其中微分算子被替换为其 $2m$ 阶 Taylor 展开，见 (2.1)。已知这些问题中的每一个均有唯一解。我们研究了近似解的正则性、其奇点性质，以及解及其梯度在奇点附近的渐近行为。