一类交叉扩散系统分离解的存在性与非唯一性

我们研究柱体 $Q=\Omega\times (0,T]$ 上交叉扩散系统的 Dirichlet 问题：$$\partial_tu_i=\operatorname{div}\left(a_iu_i\nabla (u_1+u_2)\right)+f_i(u_1,u_2),\quad i=1,2,\quad a_i=const>0,$$ 其中函数 $f_i$ 假设满足条件 $f_1(0,r)=0$，$f_2(s,0)=0$，且 $f_1(0,r)$，$f_2(s,0)$ 是局部 Lipschitz 连续的。证明了对于适当的初值 $u_0$，$v_0$，该系统存在分离解 $(u_1,u_2)$，使得 $u_i\in L^{\infty}(Q)$，$u_1+u_2\in C^{0}(\overline{Q})$，$u_1+u_2>0$ 且在 $Q$ 内处处有 $u_1\cdot u_2=0$。我们表明该分离解并不唯一，并推导了分隔 $Q$ 中 $u_1>0$ 部分与 $u_2>0$ 部分的曲面 $\Gamma$ 的运动方程。$\Gamma$ 的运动方程是过滤理论中 Darcy 定律的一种修正形式。文中给出了数值模拟结果。