同胚群有限拓扑生成集的存在性与通用性

我们证明了区间和圆的保定向 $C^1$-微分同胚拓扑群 $Diff_{+}^{1}(I)$ 和 $Diff_{+}^{1}(\mathbb{S}^1)$ 分别存在有限生成的稠密子群。我们还研究了相关群中此类有限拓扑生成集的通用性（在Baire范畴意义上）问题。我们证明了同胚群 $Homeo_+(I)$ 中的一对通用元素生成 $Homeo_+(I)$ 的一个稠密子群。相比之下，如果 $M$ 是除区间外任意带边界的紧连通流形，我们观察到从相关的边界固定同胚群 $Homeo(M,\partial M)$ 中取出的一对元素的开稠集将生成一个离散子群。对于包括 $\mathbb{S}^1$ 在内的无边界流形的同胚群，我们得出了类似的观察。