加权拥塞博弈中近似均衡的存在性与复杂性

我们研究了具有最大次数为 $d$ 的多项式代价函数的加权原子拥塞博弈中近似纯纳什均衡($\alpha$-PNE)的存在性。此前已知 $d$-近似均衡总是存在,而仅在小的常数(即 $1.153$-PNE)情况下证明了其不存在性。我们显著缩小了这一差距,证明此类博弈一般不存在 $\tilde{\Theta}(\sqrt{d})$-近似 PNE,这给出了首个超常数下界。此外,我们提供了一种黑盒式间隙引入方法,将此类不存在性结果与特定电路构件相结合,以推导该问题判定版本的 NP 完全性。特别地,应用该技术我们能够证明判定一个加权拥塞博弈是否具有 $\tilde{O}(\sqrt{d})$-PNE 是 NP 完全的。此前的困难性结果仅针对精确均衡和任意代价函数的特殊情况。该电路构件具有独立意义,它也使我们可以证明拥塞博弈中 PNE 复杂性相关的一系列问题的困难性。例如,我们证明了即使在非加权拥塞博弈中,对于某个 $\alpha < 3^{d/2}$,关于一组特定玩家采用特定策略组合的 $\alpha$-PNE 存在性问题也是 NP 难的。最后,我们研究了具有一般(非减)代价的加权拥塞博弈中作为玩家数 $n$ 函数的近似均衡存在性。我们证明 $n$-PNE 总是存在,并由几乎紧的不存在性界 $\tilde\Theta(n)$ 所匹配,该界同样可转化为判定问题的 NP 完全性证明。