通过最佳响应计算加权拥塞博弈中的近似均衡

我们提出一种确定性多项式时间算法，用于在代价函数为次数至多 $d$ 的多项式的（比例共享）加权拥塞博弈中计算 $d^{d+o(d)}$-近似（纯）纳什均衡。相对于先前最佳的确定性算法，这是近似因子的指数级改进。该算法一个吸引人的附加特征是它仅在实际博弈中使用最佳改进步，而先前最佳算法须先变换博弈本身。我们的算法是 Caragiannis 等人 [FOCS'11, TEAC 2015] 开创性算法的改编，但我们在原始博弈上直接利用近似势函数，而非在修正博弈上的精确势函数。我们分析中的一个关键组件（具有独立意义）是导出加权拥塞博弈中 $\rho$-近似均衡的无政府代价（PoA）的新界 $[d/\mathcal{W}(d/\rho)]^{d+1}$，其中 $\mathcal{W}$ 为 Lambert-W 函数。更具体地，我们证明该 PoA 恰等于 $\Phi_{d,\rho}^{d+1}$，其中 $\Phi_{d,\rho}$ 为方程 $\rho (x+1)^d=x^{d+1}$ 的唯一正解。我们的上界通过类平滑性论证导出，因而甚至对混合纳什与相关均衡也成立，而我们的下界足够简单，甚至可应用于单例拥塞博弈。