纳什均衡 NP 完全变体的不可近似性

在 Hazan 和 Krauthgamer 近期的工作（SICOMP 2011）中，他们证明了在双人博弈中寻找具有近优值的 $\eps$-近似纳什均衡，与在随机图 $G(n,1/2)$ 中寻找大小为 $O(\log n)$ 的隐藏团一样困难。这引出了一个问题：在没有此类约束的情况下，近似纳什均衡是否也存在类似的难解性。我们给出证据表明，近优值的约束使该问题明显更难：一个简单的算法就能找到最优的 1/2-近似均衡，而寻找严格优于 1/2-近似均衡的问题与隐藏团问题一样困难。这与无约束问题形成了对比，在无约束问题中，已知存在更复杂的算法可以实现更好的近似。属于 PPAD 类的一般纳什均衡不同，最优（最大值）纳什均衡是 NP 困难的。我们进而证明，最优纳什均衡只是几个与纳什均衡相关的已知 NP 困难问题之一，所有这些问题都有其近似变体，且这些变体与寻找植入团一样困难。特别地，我们对以下问题的近似变体证明了这一点：寻找值大于 $\eta$ 的纳什均衡（对于任意 $\eta>0$，即使最佳纳什均衡的值为 $1-\eta$）、寻找第二个纳什均衡，以及寻找具有小支撑集的纳什均衡。最后，我们考虑了双人博弈中近似纯贝叶斯纳什均衡的复杂性。在此我们证明，对于一般贝叶斯博弈，该问题是 NP 困难的。对于类型分布为均匀分布的特殊情况，我们给出了一个拟多项式时间算法，该算法与基于隐藏团问题的困难性结果相匹配。