排除有限域上的仿射构型

设 $a_{i1}x_1+\cdots+a_{ik}x_k=0$，$i\in[m]$ 是一个系数为有限域 $\mathbb{F}_q$ 中元素 $a_{ij}$ 的均衡齐次线性方程组。我们称一个解 $x=(x_1,\ldots, x_k)$（其中 $x_1,\ldots, x_k\in \mathbb{F}_q^n$）为“泛型”的，如果 $x$ 满足的每个均衡齐次线性方程都是给定方程的线性组合。我们证明，如果给定系统是“驯顺的”，则没有泛型解的子集 $S\subseteq \mathbb{F}_q^n$ 必须具有指数级小的密度。这里，如果对于每个隐含系统，方程个数少于所用变量个数的一半，则称该系统是驯顺的。利用子空间采样论证，这也给出一个“超饱和结果”：存在常数 $c$，使得对于充分小的 $\epsilon>0$，当 $n\to\infty$ 时，每个大小至少为 $q^{(1-\epsilon) n}$ 的子集 $S\subseteq \mathbb{F}_q^n$ 包含 $\Omega(q^{(k-m-\epsilon c)n})$ 个解。对于 $q<4$，可以去掉驯顺条件。我们的主要工具是对切片秩方法的改进，以利用许多解的存在性来获得高秩解。