关于 Alon 的一个问题

$\mathbb{F}_p^n$ 中的线性方程组是“常见的（common）”，如果 $\mathbb{F}_p^n$ 的每种二染色所给出的单色解数量至少与随机二染色一样多，在 $n \to \infty$ 的渐近意义下。类比图论情形，Alon 曾问：是否任意（非 Sidorenko）线性方程组都可通过添加足够多的自由变量而变得不常见（uncommon）。Fox、Pham 与 Zhao 在由单个方程构成的方程组中肯定地回答了该问题。我们对 Alon 的问题给出否定回答。我们还观察到，尽管添加任意多自由变量仍保持常见这一性质，与一种常见性（commonness）概念密切相关——其中将单色解数量的算术平均替换为几何平均，并进一步解决了 Kamčev--Liebenau--Morrison 的问题。