线性方程的 Sidorenko 性质的局部方面

$\mathbb{F}_p^n$ 中的线性方程组若满足：任意 $\mathbb{F}_p^n$ 的子集所含方程组的解数至少与同密度的随机集一样多（当 $n\to \infty$ 时渐近地），则称其为 \textit{Sidorenko} 的。线性方程组若满足：任意 $\mathbb{F}_p^n$ 的 2-染色所产生的单色方程组解数至少与随机 2-染色一样多（当 $n\to \infty$ 时渐近地），则称其为 \textit{common} 的。尽管近期受到关注，这两个分类问题仍远未解决。我们证明某一类一般的二元线性方程组族不是 Sidorenko 的。事实上，我们证明该族中的系统不是局部 Sidorenko 的，且该族中不含加法元组（additive tuples）的系统不是弱局部 Sidorenko 的。这一努力回答了 Kam\v{c}ev--Liebenau--Morrison 的一个猜想与一个问题。就方法而言，我们观察到线性系统的真复杂度在傅里叶反演下不被保持；我们的主要新颖之处在于在复杂度为 1 的系统的频率空间中使用了高阶方法。我们也给出了 Kam\v{c}ev--Liebenau--Morrison 以及独立地 Versteegen 近期结果的更短证明：任何含四项算术级数的线性系统都是 uncommon 的。