关于 $\mathbb{F}_q^n$ 中避免含重复列线性方程组解的子集大小

考虑系数在 $\mathbb{F}_q$ 中的 $k$ 变量 $m$ 个平衡线性方程组。若 $k \geq 2m + 1$，则切片秩方法的常规应用表明存在常数 $\beta,\gamma \geq 1$ 且 $\gamma < q$，使得对大小至少为 $\beta \cdot \gamma^n$ 的每个子集 $S \subseteq \mathbb{F}_q^n$，该方程组存在解 $(x_1,\ldots,x_k) \in S^k$ 且 $x_1,\ldots,x_k$ 不全相等。基于 Mimura 与 Tokushige 的一系列论文以及 Sauermann 的一篇论文，本文研究寻找更高非退化解的问题；即各 $x_1,\ldots,x_k$ 两两互异的解，或甚至不满足任何非该系统方程线性组合之平衡线性方程的解。本文关注含重复列的线性方程组。对此类系统的一大类，我们证明存在常数 $\beta,\gamma \geq 1$ 且 $\gamma < q$，使得大小至少为 $\beta \cdot \gamma^n$ 的每个子集 $S \subseteq \mathbb{F}_q^n$ 包含非退化解（上述两种意义之一）。该类与 Sauermann 结果所覆盖的类不相交，并将 Mimura 与 Tokushige 研究的系统纳入统一证明。此外，我们结果的一个特例表明：若 $S \subseteq \mathbb{F}_p^n$ 是满足 $S - S$ 不含非平凡 $k$ 项等差数列（其中 $p$ 为素数且 $3 \leq k \leq p$）的子集，则 $S$ 必具有指数级小密度。