线性时间子图计数、图退化性与规模六处的鸿沟

我们考虑在输入图中计数所有 $k$ 顶点子图的问题，其中 $k$ 为任意常数。该问题（记为 sub-cnt$_k$）在理论与实践中均被广泛研究。在一篇经典结果中，Chiba 和 Nishizeki（SICOMP 85）给出了针对有界退化图的团和 4-环计数的线性时间算法。这是一类丰富的稀疏图，包含例如所有免minor族和优先连接图。该结果的技术启发了近期许多针对 sub-cnt$_k$ 的实用算法。为更好地理解这些技术的极限，我们追问：对于哪些 $k$ 值，sub-cnt$_k$ 可在线性时间内求解？我们发现了在 $k=6$ 处的一道鸿沟。具体而言，我们证明对于 $k < 6$，sub-cnt$_k$ 可在线性时间内求解。在细粒度复杂性中的一个标准猜想下，我们证明对于所有 $k \geq 6$，sub-cnt$_k$ 甚至无法在近似线性时间内求解。