从四面八方包围线性方程组的解

设 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 可逆，我们寻求 $Ax = b$ 的解。给定初始猜测 $x_1 \in \mathbb{R}$，我们证明通过由 $A$ 的行所生成的超平面进行反射，可以生成一个无穷序列 $(x_k)_{k=1}^{\infty}$，使得所有元素到解的距离相同，即 $\|x_k - x\| = \|x_1 - x\|$。若超平面随机选取，则序列上的平均收敛，且 $$\mathbb{E} \left\| x - \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m}{ x_k} \right\| \leq \frac{1 + \|A\|_F \|A^{-1}\|}{\sqrt{m}} \cdot\|x-x_1\|.$$ 该界不依赖于矩阵的维数。这引入了一种纯几何的攻击方式：是否存在从已知球面上许多点快速估计球心位置的方法？我们的收敛速率（与随机 Kaczmarz 方法一致）来自平均，能否做得更好？