基于反集中不等式的Hadamard矩阵个数研究

组合线性代数中的许多问题需要对欠定线性方程组$Ax = b$的解的个数给出上界，其中向量$x$的坐标被限制为取底层域的某个小子集(例如$\{\pm 1\}$)中的值。界定此量的经典方法是使用Odlyzko的秩界观察或Hal\'asz的向量反集中不等式。前者给出更强的结论，除非方程个数显著小于变量个数；即便在此类情形下，Hal\'asz不等式的假设在实践中也相当难以验证。在本文中，利用一种针对向量和的反集中问题的新方法，我们获得了新的Hal\'asz型不等式，其甚至在与方程个数和变量个数相当时也优于Odlyzko界。除了更强之外，我们的不等式的假设也明显更易验证。我们给出不等式在组合(随机)矩阵理论中的两个应用：(i) 我们得到了$n\times n$ Hadamard矩阵个数的第一个非平凡上界；(ii) 我们改进了Deneanu和Vu近期关于随机$\{\pm 1\}$矩阵正态性的概率的界。