环面、球面及其他代数簇上的超定方程组

设 $E_1,\ldots,E_k$ 为代数簇 $X$ 上（定义在 $\mathbb{C}$ 上）的一族线性系。即 $E_i\subset H^0(X, \mathcal{L}_i)$ 是线丛 $\mathcal{L}_i$ 正则截面空间中的有限维子空间。若一般方程组 $$s_1 = \ldots = s_k = 0,$$ 其中 $s_i\in E_i$ 在 $X$ 上无任何根，则称此族为超定。本文研究由超定线性系族给出的可解系统。推广结式超曲面的概念，我们定义一致性簇 $R\subset \prod_{i=1}^k E_i$ 为所有至少有一个公共根的系统之集合的闭包，并研究一般一致性系统 ${\bf s}\in R$ 的零点集 $Z_{\bf s}$ 的一般性质。进而，在球面齐性空间上等变线性系的情形，我们给出计算此类一般非空集 $Z_{\bf s}$ 离散不变量的策略。对于环面 $(\mathbb{C}^*)^n$ 上的等变线性系，该策略给出显式计算并推广了牛顿多面体的理论。