激动性游戏与Monge-Ampère方程

我们考虑 $d+1$ 名玩家之间的竞争，旨在识别此类竞争中最“激动人心”的游戏。该问题在数学上被转化为在 $d$ 维子概率单纯形 $\Delta$ 上的鞅优化问题，终点位于 $\Delta$ 的顶点上（即所谓的胜利鞅），其代价函数与 Shannon 熵的缩放极限相关。我们发现，这一问题与看似无关的Monge-Ampère方程之间存在惊人的联系：若函数 $g$ 满足 \n\begin{cases} g(x)=\log \det\left(\frac{1}{2}\nabla^2 g(x)\right), \quad x \in \Delta, \\ g(x)=\infty, \quad x \in \partial \Delta, \end{cases}\n\end{cases}\n则该游戏中玩家的获胜概率由 dM_s=\sqrt\frac{2 (\nabla^2 g(M_s))^{-1}}{1-s} } \, dB_s. 为形式化此结果，必须对Monge-Ampère方程进行详尽的定量分析。这进一步被用于证明 $M$ 确为最优胜利鞅。