随机性与提前终止：是什么让比赛充满悬念？
概率论
2023-09-21 v3 偏微分方程分析
最优化与控制
摘要
本文重新探讨 Aldous 提出的一个开放问题：关于最大熵胜率鞅——给定两名实力相当的选手，使得胜率为鞅扩散过程，这些过程中哪一个具有最大熵从而给观众带来最大悬念？我们研究由 Aldous 导出的非线性抛物型偏微分方程 的终端边值问题，并结合 PDE 分析与概率工具（特别是将其重新表述为具有受限控制集的随机控制问题，从而可推得严格椭圆性）证明该问题解的存在唯一性与正则性。我们建立了解的关键定性性质，包括凹性、单调性、剩余时间较长时收敛到稳态，以及终端时间前不久的渐近行为。此外，我们构造了收敛的数值逼近。分析与数值结果使我们能够凸显在当前比赛可能提前结束情形下胜率过程的行为，这与 Backhoff-Veraguas 和 Beiglböck 近期比赛中始终打满全程的工作形成对比。
引用
@article{arxiv.2306.07133,
title = {Randomness and early termination: what makes a game exciting?},
author = {Gaoyue Guo and Sam D. Howison and Dylan Possamaï and Christoph Reisinger},
journal= {arXiv preprint arXiv:2306.07133},
year = {2023}
}