$\mathbb{A}^3$ 上具有渐近稠密投影轨道的近可积系统示例

给定一个整数 $\kappa\geq2$，我们引入了一类 $\mathbb{A}^3$ 上的近可积系统，其形式为 $$H_n(\theta,r)=\frac12 \Vert r\Vert ^2+\tfrac{1}{n} U(\theta_2,\theta_3)+f_n(\theta,r)$$ 其中 $U\in C^\kappa(\mathbb{T}^2)$ 是一个一般势函数，$f_n$ 是一个 $C^{\kappa-1}$ 附加扰动，使得 $\Vert f_n\Vert_{C^{\kappa-1}(\mathbb{A}^3)}\leq \tfrac{1}{n}$，从而 $H_n$ 是完全可积系统 $h(r)=\frac12\Vert r\Vert ^2$ 的一个扰动。设 $\Pi:\mathbb{A}^3\to\mathbb{R}^3$ 为标准投影。我们证明，对于每个 $\delta>0$，存在 $n_0$ 使得对于 $n\geq n_0$，系统 $H_n$ 在能量 $\frac12$ 处存在一条轨道 $\Gamma_n$，其投影 $\Pi(\Gamma_n)$ 在 $\Pi(H_n^{-1}(\tfrac{1}{2}))$ 中是 $\delta$-稠密的，即 $\Pi(\Gamma_n)$ 在 $\mathbb{R}^3$ 中的 $\delta$-邻域覆盖了 $\Pi(H_n^{-1}(\frac{1}{2}))$。