具有非平面边界波导中的精确半分离变量

在耦合模理论(CMTs)背景下，伸长波导中未知场 $\Phi=\sum\varphi_n Z_n$ 的级数展开常用于声学、光学、地球物理、水波和其他应用。横向函数 $Z_n$ 通过求解局部Sturm-Liouville问题(参考波导)确定。在大多数情况下，赋予 $Z_n$ 的边界条件不能与 $\Phi$ 的物理边界条件兼容，导致级数收敛缓慢，并使CMTs成为缓坡近似。本文中，推广并证明了(Athanassoulis & Belibassakis 1999, J. Fluid Mech. 389, 275-301)中引入的启发式方法。证明了适当增强的级数展开成为场 $\Phi$ 的精确、快速收敛表示，对任何光滑非平面边界和任何足够光滑的 $\Phi$ 有效。该级数展开可在域内包括边界处逐项微分，实现了非可分离域的精确半分离变量。方法的效率通过求解Laplace方程的边值问题并计算相应的Dirichlet-to-Neumann算子来说明，该算子涉及非线性水波的哈密顿方程。本方法仅用少数模式就对相当一般的域提供准确结果。也讨论了向一般波导的推广。