精确量子化条件、环面 Calabi-Yau 与非微扰拓扑弦

我们建立了 Nekrasov-Shatashvili (NS) 量子化方案与 Grassi-Hatsuda-Mariño 猜想之间关于任意环面 Calabi-Yau 三重镜像曲线的精确关系。对于亏格为 $g$ 的镜像曲线，NS 量子化方案给出相应可积系统的 $g$ 个量子化条件。精确的 NS 量子化条件关于普朗克常数 $\hbar$ 具有自 S-对偶性，并可从非微扰拓扑弦的 Lockhart-Vafa 配分函数导出。基于最近对谱理论与拓扑弦之间对应关系的观察，Grassi-Hatsuda-Mariño 提出了另一种量子化方案，其中仅存在单一量子化条件，且谱编码在一个量子 Riemann theta 函数的零点中。我们证明，实际上至少存在 $g$ 个不等价的量子 Riemann theta 函数，且它们的 theta 除子之交与精确 NS 量子化条件所确定的谱一致。这两种量子化方案之间高度非平凡的一致性要求精细 Gopakumar-Vafa 不变量满足无穷多个约束。对于亏格一的镜像曲线，该等价性已在某些局部 del Pezzo 曲面上得到验证。本文将这一对应推广到更高亏格，并详细分析了 resolved $\mathbb{C}^3/\mathbb{Z}_5$ 轨形以及若干 $SU(N)$ 几何。我们还对某些模型在 $\hbar=2\pi/k$ 时给出了证明。