谱理论与镜对称

弦理论近期的进展揭示了谱理论与局部镜对称之间令人惊讶的联系：人们发现，环面卡拉比-丘三折的镜曲线的量子化导致迹类算子，其谱性质据猜想编码于卡拉比-丘的枚举几何中。这引出新的、无限的易解谱问题族：这些算子的弗雷德霍姆行列式可借助格罗莫夫-威滕不变量及其细化显式给出；其谱编码于精确量子化条件中，并确由量子 theta 函数的零点所决定。反之，这些算子的谱理论为环面卡拉比-丘三折上的拓扑弦理论提供了非微扰定义。特别地，其积分核导出了拓扑弦配分函数的矩阵积分表示，从而解释了周期的一些数论性质。本文以数学含义为重点，对这些进展作教学式概述。