一维简单随机游走中极少访问站点的精确上极限增长

我们研究了一维简单随机游走在时间 $n$ 内的最小局部时 $f(n)$，定义为范围内任意站点被访问的最少次数。Erdős 和 Révész（1987, 1991）反复提出的猜想认为 $\limsup_{n\to\infty}f(n)=2$ 几乎必然成立，但 Tóth（1996）将其否定，证明 $\limsup_{n\to\infty}f(n)=\infty$。随后，Révész（2013）建议研究其增长速率并建立了 $O(\log n)$ 量级的上界。在本文中，我们确定了精确的渐近增长速率，证明几乎必然地，$$\limsup_{n\to\infty}\frac{f(n)}{\log\log n}=\frac{1}{\log 2}.$$ 这一结果回答了 Révész（2013）第 13.2 节中提出的开放问题。