多维对称 Markov 随机飞行的二边际二阶矩函数的解析公式

我们考虑在欧几里得空间 $\Bbb R^m, \; m\ge 3$ 中的对称 Markov 随机飞行过程 $\bold X(t), \; t>0$，其中粒子以恒定的有限速度在 $\Bbb R^m$ 中运动，并在泊松分布的随机时刻随机改变方向，初始方向及每次新方向均依据单位 $(m-1)$ 维球面上的均匀分布随机选择。对过程 $\bold X(t)$ 的二边际二阶矩函数 $\mu_{(2,2,0,\dots,0)}(t), \; t>0,$ (对应的多指数为 $(2,2,0,\dots,0)$) 进行了考察。获得了函数 $\mu_{(2,2,0,\dots,0)}(t)$ 的显式公式。该公式同样适用于所有形式为 $(0,\dots,0,2,0,\dots,0,2,0,\dots,0)$ 的其他二边际二阶矩函数。还证明了在标准 Kac 比例条件下，该矩函数转化为 $m$ 维均匀布朗运动中两个坐标方差的乘积。