图中Ollivier曲率的精确表达式与简化线性规划

Ollivier曲率在离散几何与网络理论中具有重要应用，特别是作为局部聚类的度量。Ollivier曲率根据Wasserstein距离定义，在离散情形下可视为特定线性规划的最优解。在某些图类中，该线性规划可先验求解，从而给出Ollivier曲率的精确组合表达式。Bhattacharya与Mukherjee（2013）曾声称二部图与围长为5的图中存在Ollivier曲率的精确表达式；我们给出这些断言的反例，并指出了Bhattacharya与Mukherjee论证中的错误。随后我们针对任意图重做Bhattacharya与Mukherjee的分析，将这一错误考虑在内，并给出用于计算Ollivier曲率的简化——可并行求解的——线性规划。这有可能改进Ollivier曲率的精确数值评估，尽管该结果启发式地表明不存在通用的Ollivier曲率精确组合表达式。最后，我们基于由物理考量驱动的特定组合约束所定义的一类图，给出了Ollivier曲率的精确表达式。