每个平面图都是$1$-缺陷$(9,2)$-paintable

假设$L$是图$G$的一个$k$-列表分配。图$G$的一个$d$-缺陷$m$-重$L$-着色$\phi$为每个顶点$v$分配一个$m$种颜色的集合$\phi(v)$，使得对每个顶点$v$有$\phi(v) \subseteq L(v)$，并且对每个颜色$i$，集合$\{v: i \in \phi(v)\}$诱导一个最大度至多为$d$的子图。本文考虑图的在线列表$d$-缺陷$m$-重着色，其中列表分配$L$在线给出，且着色在线构造。确切地说，图$G$上的$d$-缺陷$(k,m)$-painting游戏由两名玩家Lister和Painter进行。初始时，每个顶点有$k$个令牌且未着色。每轮中，Lister选择一个顶点集合$M$并从每个被选顶点移除一个令牌。Painter对$M$的一个子集$X$着色，使得诱导子图$G[X]$的最大度至多为$d$。若顶点$v$已收到$m$种颜色，则称其完全着色。若在某轮结束时，存在一个顶点无剩余令牌且未完全着色，则Lister获胜。否则，在某轮所有顶点完全着色，Painter获胜。称$G$是$d$-缺陷$(k,m)$-paintable，若Painter在此游戏中有获胜策略。本文证明每个平面图都是$1$-缺陷$(9,2)$-paintable。