固定颜色数的在线列表着色

在线列表着色是图论中一个被广泛研究的课题。如果对于图 $G$ 的在线列表着色（其中每个顶点的颜色列表大小为 2），我们总是有一种策略完成着色，则称图 $G$ 是 2-可涂色的（2-paintable）。在本文中，我们关注颜色数量预先已知的在线列表着色博弈。如果对于图 $G$ 的在线列表着色，我们预先知道恰好有 $t$ 种颜色，且每个顶点的颜色列表大小为 2，而我们总是有一种策略完成着色，则称 $G$ 是 $[2,t]$-可涂色的。令 $M(G)$ 表示 $G$ 不是 $[2,t]$-可涂色时的最大 $t$ 值，$m(G)$ 表示 $G$ 不是 $[2,t]$-可涂色时的最小 $t \geq 2$ 值。我们证明，如果 $G$ 不是 2-可涂色的，则 $2 \leq m(G) \leq 4$，且 $n \leq M(G) \leq 2n-3$。此外，我们分别刻画了满足 $m(G)\in \{2,3,4\}$ 和 $M(G) \in \{n, n+1, 2n-3\}$ 的图 $G$。