非 Lindelöf 空间中的最终常值与停滞函数

受 A. Mardani 近期工作的启发——该工作详述了如下基本事实：对任意连续函数 $f:\omega_1\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，存在 $\alpha\in\omega_1$ 使得对所有 $\beta\ge\alpha$ 和 $x\in\mathbb{R}$ 有 $f(\langle\beta,x\rangle) = f(\langle\alpha,x\rangle)$——我们引入四个性质 $\mathsf{P}(X,Y)$，$\mathsf{P}\in\{\mathsf{EC},\mathsf{S},\mathsf{L},\mathsf{BR}\}$，它们是对模糊表述为“给定连续 $f:X\to Y$，存在 $X$ 的一个小子空间，在其外 $f$ 不再产生多少新变化”这一思想的不同形式化。我们说空间 $X,Y$ 满足性质 $\mathsf{EC}(X,Y)$（相应 $\mathsf{S}(X,Y)$）[相应 $\mathsf{L}(X,Y)$] 当且仅当给定 $f:X\to Y$，则存在 Lindelöf 的 $Z\subset X$ 使得 $f(X-Z)$ 为单点集（相应存在收缩 $r:X\to Z$ 使得 $f\circ r = f$）[相应 $f(Z) = f(X)$]。（$\mathsf{BR}(X,Y)$ 类似定义。）我们研究了这四个性质与其他经典拓扑性质间的关系。依据 $Z$ 是否可选为闭集，每个性质给出两种变体。以下为我们结果的一例：树高 $\omega_1$ 的树的不可数子空间 $T$ 是 $\omega_1$-紧的当且仅当对任意基数 $>1$ 的可度量化空间 $Y$ 有 $\mathsf{S}(T,Y)$ 成立。若 $M$ 是满足 $\mathsf{S}(M,\mathbb{R})$ 或 $\mathsf{EC}(M,\mathbb{R})$ 某一弱化的 $\aleph_1$-强集体式 Hausdorff 非可度量化流形，则 $M$ 是 $\omega_1$-紧的。性质 $\mathsf{L}(M,\mathbb{R})$ 对任意流形成立而 $\mathsf{L}(M,\mathbb{R}^2)$ 不成立。在 PFA 下，满足 $\mathsf{EC}(\omega_1,Y)$ 的局部紧可数紧空间 $Y$ 是同紧的，而在 $\clubsuit_C$ 下存在反例。我们的部分结果是在我们的语境下对其他研究者工作的重述。