实现经典数值域中点的向量的连续性性质

对于 $n\times n$ 矩阵 $A$，令 $f_A$ 为其“数值域生成函数”，定义为 $f_A\colon x\mapsto x^*Ax$。我们考虑 $f_A^{-1}$（当然是多值的）在数值域 $F(A)$ 上的两种自然连续性版本，我们称之为强连续性和弱连续性。强连续性特别成立于 $F(A)$ 的内部，以及那些属于 $\partial F(A)$ 的角点、属于 $\partial F(A)$ 平坦部分的相对内部、或者其在 $f_A$ 下的原像包含在一维集合中的点 $z \in \partial F(A)$。因此，对于所有正规矩阵、2 阶矩阵以及酉不可约 3 阶矩阵，$f_A^{-1}$ 在整个 $F(A)$ 上在此意义下是连续的。然而，我们通过示例表明，对于某些（酉可约）3 阶和（酉不可约）4 阶矩阵，$f_A^{-1}$ 的强连续性在 $\partial F(A)$ 的某些点处失效。另一方面，弱连续性对于某些酉可约 4 阶和酉不可约 6 阶矩阵失效。