弱连续函数族及其性质

设 $f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$。I. Leader 于 2009 年考虑了 $f$ 在点 $\langle x,y\rangle\in\mathbb{R}^2$ 处的弱连续性 (feebly continuity) 与极弱连续性 (very feebly continuity) 概念。我们研究集合 $FC(f)$（分别为 $VFC(f)\supset FC(f)$）的性质，这些集合由 $f$ 弱连续（极弱连续）的点组成。我们证明 $VFC(f)$ 是稠密非贫集 (densely nonmeager)，且若 $f$ 具有贝尔性质 (Baire property)（可测），则 $FC(f)$ 是剩余集 (residual)（具有全外勒贝格测度）。我们描述了若干满足 $FC(f)\neq VFC(f)$ 的函数 $f$ 的例子。随后我们考虑二弱连续性 (two-feebly continuity) 的概念，它严格弱于极弱连续性。我们证明（任意）$f$ 二弱连续的点集构成一个具有全外测度的剩余集。最后，我们研究在各种弱连续函数集内部或外部存在大型代数结构的问题。