对称性视角下的 Euler-Bernoulli 梁：等价方程的刻画

我们利用 Lie 对称分析完全解决了 Euler-Bernoulli 方程的等价问题。我们证明，Bernoulli 方程的对称 Lie 代数模去由解对称生成的无限维 Lie 代数所得的商，是以下 Lie 代数之一的表示：$2A_1$、$A_1\oplus A_2$、$3A_1$ 或 $A_{3,3}\oplus A_1$。每个商对称 Lie 代数决定了一类 Euler-Bernoulli 方程。除了对应于任意线质量密度和抗弯刚度的通用情况外，我们通过给出物理参数（线质量密度和抗弯刚度）所满足的一组确定性微分方程，刻画了每一类中的元素。对于每一类，我们提供了一个简单的代表元，并显式构造了将类中成员映射到其代表元的变换。由四维商对称 Lie 代数 $A_{3,3}\oplus A_1$ 描述的最大对称类，对应于同胚于均匀梁（恒定线质量密度和抗弯刚度）的 Euler-Bernoulli 方程。我们严格推导了一些可约化为均匀单位梁的非平凡且非均匀的 Euler-Bernoulli 方程。我们的模型扩展并强调了 Gottlieb 等谱梁（Proceedings of the Royal Society London A 413 (1987) 235-250）的对称性特征。