欧几里得若尔当代数、隐藏作用与J-开普勒问题

对于一个{\em 单欧几里得若尔当代数}，设$\mathfrak{co}$为其共形代数，$\mathscr P$为由其半正定秩一元素构成的流形，$C^\infty(\mathscr P)$为$\mathscr P$上复值光滑函数空间。我们展示了$\mathfrak{co}$在$C^\infty(\mathscr P)$上的一个显式作用，称为$\mathfrak{co}$在$\mathscr P$上的{\em 隐藏作用}。事实证明，这个隐藏作用在数学上负责开普勒问题及其最近发现的广泛推广（称为J-开普勒问题）的存在性。然后，我们使用欧几里得若尔当代数的统一语言重构并重新审视了J-开普勒问题。结果，对于一个单欧几里得若尔当代数，其共形群的最小表示可以实现为其J-开普勒问题的束缚态希尔伯特空间，或实现为$L^2({\mathscr P}, {1\over r}\mathrm{vol})$，其中$\mathrm{vol}$是$\mathscr P$上的体积形式，$r$是$x\in \mathscr P$与若尔当代数单位元的内积。