负曲率哈达德流形上泊松核的估计

设 $M$ 为 $n$ 维负曲率哈达德流形，满足 $-b^2 \leq K_M \leq -a^2$。$M$ 上无限远Dirichlet问题的解导致构造一族互为绝对连续的概率测度 $\{\mu_x\}_{x \in M}$，称为调和测度。固定基点 $o \in M$，$M$ 的泊松核是函数 $P : M \times \partial M \to (0, \infty)$ 定义为\n\begin{equation*}\nP(x, \xi) = \frac{d\mu_x}{d\mu_o}(\xi)\ ,\ x \in M, \xi \in \partial M.\n\end{equation*}\n我们证明了以下关于泊松核的全局上、下界:\n\begin{equation*}\frac{1}{C}\: e^{-2K{(o|\xi)}_x}\: e^{a d(x, o)} \le P(x,\xi) \le C\: e^{2K{(x|\xi)}_o}\: e^{-a d(x,o)}\ ,\end{equation*}\n其中 $C \geq 1, K > 0$ 为仅依赖于 $a, b$ 和 $n$ 的正常数。上述估计可视为Gromov双曲调和流形中泊松核以Busemann函数表示的著名公式的推广。这些估计并非直接从Green函数或调和测度的已知估计推导而来。相反，我们采用Anderson-Schoen等人用于估计锥中正调和函数的技术。作为应用，我们获得了量化的估计：当 $x \in M \to \xi \in \partial M$ 时，$\mu_x \to \delta_{\xi}$ 的收敛性，以及当球的半径趋于无穷大时，调和测度在有限球面上的收敛性。