算子连续性模的估计

在文献[AP2]中，我们得到了实直线上函数的算子连续性模的一般估计。本文针对某些特殊函数类改进了文献[AP2]中得到的估计。特别地，我们改进了Kato文献[Ka]中的估计，并证明对于Hilbert空间上的任意有界算子$S$和$T$，有 $$\big\|\,|S|-|T|\,\big\|\le C\|S-T\|\log(2+\log\frac{\|S\|+\|T\|}{\|S-T\|})$$ 成立，其中$|S|\df(S^*S)^{1/2}$。此外，我们证明该不等式是精确的。本文证明，若$f$是$\R$上的一个非递减连续函数，在$(-\be,0]$上为零且在$[0,\be)$上是凹函数，则其算子连续性模$\O_f$满足估计 $$\O_f(\d)\le\const\int_e^\be\frac{f(\d t)\,dt}{t^2\log t},\quad\d>0.$$ 我们还研究了文献[AP2]和[AP4]中所得估计的精确性问题。我们构造了$\R$上的一个$C^\be$函数$f$，使得$\|f\|_{L^\be}\le1$，$\|f\|_{\Li}\le1$，且 $$\O_f(\d)\ge\const\,\d\sqrt{\log\frac2\d},\quad\d\in(0,1].$$ 在本文的最后一节，我们在$A$的谱具有$n$个点的情况下得到了$\|f(A)-f(B)\|$的精确估计。此外，我们利用谱的$\e$-熵得到了一个更一般的结果，该结果也改进了文献[AP2]中得到的有限区间上Lipschitz函数的算子连续性模的估计。