$\bar\partial$-Neumann 问题的估计与 $CP^n$ 中 Levi-平坦超曲面的不存在性

设 $\Omega$ 是 $\mathbb CP^n$ 中具有 $C^2$ 光滑边界的伪凸域。我们证明 $\bar\partial$-Neumann 算子 $N$ 在 $\Omega$ 上对 $(p,q)$-形式存在。此外，存在 $t_0>0$ 使得算子 $N$、$\bar\partial^*N$、$\bar\partial N$ 以及 Bergman 投影在 Sobolev 空间 $W^t (\bar{\Omega})$ 中对 $t<t_0$ 是正则的。上述边界估计在复几何中有应用。我们利用这些估计证明了 $\mathbb CP^n$ 中 $C^{2, \alpha}$ 实 Levi-平坦超曲面的不存在性。我们还证明了在 $\mathbb CP^n$ 的任意伪凹域上不存在非零的 $L^2$-全纯 $(p, 0)$-形式，其中 $p > 0$。